Топология — раздел математики, изучающий свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях (без разрывов и склеек). В топологии куб и шар — одинаковы (можно превратить в друг друга растяжением), а бублик и шар — разные (у бублика есть дырка).
Основные понятия
- Топологическое пространство: множество с определённым понятием "близости"
- Открытые множества: основа определения непрерывности
- Гомеоморфизм: непрерывное биективное отображение с непрерывным обратным. Если есть — пространства топологически эквивалентны
- Инварианты: свойства, сохраняющиеся при гомеоморфизме
Классические примеры
- Кружка и бублик (тор) — гомеоморфны: у каждого ровно одна дырка. Можно превратить без разрыва
- Сфера и тор — НЕ гомеоморфны: разное количество дырок
- Сфера и куб — гомеоморфны
- Лента Мёбиуса — неориентируемая поверхность, у неё одна сторона и один край
Род поверхности
Число "ручек" на замкнутой поверхности. Полная классификация замкнутых ориентируемых поверхностей:
- Род 0: сфера
- Род 1: тор (бублик)
- Род 2: крендель
- Род g: g-крендель
Эйлерова характеристика
Для выпуклого многогранника: V - E + F = 2, где V — вершины, E — рёбра, F — грани. Это топологический инвариант.
- Сфера: χ = 2
- Тор: χ = 0
- Крендель (род 2): χ = -2
- Плоскость: χ = 1
Теорема о четырёх красках
Любую плоскую карту можно раскрасить в 4 цвета так, чтобы соседние страны имели разные цвета. Доказана в 1976 (Аппель и Хакен) с помощью компьютера — первая крупная теорема, доказанная машиной.
Кёнигсберг и Эйлер
7 мостов Кёнигсберга. Можно ли обойти все, пройдя по каждому мосту ровно один раз? Эйлер в 1735 доказал: нельзя. Родилась теория графов — раздел топологии.
Подразделы
- Общая топология (point-set topology): фундамент
- Алгебраическая топология: изучает через алгебраические инварианты (гомологии, гомотопии)
- Дифференциальная топология: гладкие многообразия
- Геометрическая топология: низкоразмерные пространства
Гомотопия
Непрерывная деформация одного отображения в другое. Петля на сфере может быть стянута в точку (тривиальна). Петля вокруг дырки на торе — нет.
Фундаментальная группа
- Состоит из петель, начинающихся и заканчивающихся в одной точке, с точностью до гомотопии
- Сфера: тривиальная
- Окружность: Z (целые числа — сколько раз обошли)
- Тор: Z × Z
Гипотеза Пуанкаре
- Сформулирована в 1904: каждое односвязное замкнутое 3-мерное многообразие гомеоморфно сфере S³
- Одна из 7 задач тысячелетия ($1 млн)
- 2002-2003: Перельман публикует доказательство на arXiv
- 2006: подтверждено сообществом. Перельман отказывается от Филдсовской медали и $1 млн
Узлы и зацепления
- Математика узлов: как различить узлы?
- Полином Джонса, Александера — инварианты
- ДНК: молекулы действительно "завязываются"
- Применение: проектирование молекул
Применения
- Топологический анализ данных (TDA): анализ больших данных через "форму"
- Физика: топологические изоляторы, топологические фазы (Нобелевская 2016)
- Квантовые компьютеры: топологические кубиты Microsoft
- Роботы: планирование движений в конфигурационных пространствах
- Биология: фолдинг белков
Бутылка Клейна
- Неориентируемая замкнутая поверхность
- В 3D не вложима (проходит сама через себя)
- Нет "внутри" и "снаружи"
- Стеклодувы делают модели (с пересечением)
Рог Гавриила
Поверхность вращения 1/x от 1 до ∞. Конечный объём, бесконечная площадь. Теоретически можно заполнить краской, но не покрасить изнутри.
Абстракция
Топология начинается со школьной геометрии, но быстро уходит в глубокую абстракцию. Это красивая, мощная и иногда противоречащая интуиции область математики.
Обсуждение (0)
Войдите, чтобы задать вопрос
Загрузка комментариев…