Топология: геометрия без деталей

Топология — раздел математики, изучающий свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях (без разрывов и склеек). В топологии куб и шар — одинаковы (можно превратить в друг друга растяжением), а бублик и шар — разные (у бублика есть дырка).

Основные понятия

• Топологическое пространство: множество с определённым понятием "близости"
• Открытые множества: основа определения непрерывности
• Гомеоморфизм: непрерывное биективное отображение с непрерывным обратным. Если есть — пространства топологически эквивалентны
• Инварианты: свойства, сохраняющиеся при гомеоморфизме

Классические примеры

• Кружка и бублик (тор) — гомеоморфны: у каждого ровно одна дырка. Можно превратить без разрыва
• Сфера и тор — НЕ гомеоморфны: разное количество дырок
• Сфера и куб — гомеоморфны
• Лента Мёбиуса — неориентируемая поверхность, у неё одна сторона и один край

Род поверхности

Число "ручек" на замкнутой поверхности. Полная классификация замкнутых ориентируемых поверхностей:

• Род 0: сфера
• Род 1: тор (бублик)
• Род 2: крендель
• Род g: g-крендель

Эйлерова характеристика

Для выпуклого многогранника: V - E + F = 2, где V — вершины, E — рёбра, F — грани. Это топологический инвариант.

• Сфера: χ = 2
• Тор: χ = 0
• Крендель (род 2): χ = -2
• Плоскость: χ = 1

Теорема о четырёх красках

Любую плоскую карту можно раскрасить в 4 цвета так, чтобы соседние страны имели разные цвета. Доказана в 1976 (Аппель и Хакен) с помощью компьютера — первая крупная теорема, доказанная машиной.

Кёнигсберг и Эйлер

7 мостов Кёнигсберга. Можно ли обойти все, пройдя по каждому мосту ровно один раз? Эйлер в 1735 доказал: нельзя. Родилась теория графов — раздел топологии.

Подразделы

• Общая топология (point-set topology): фундамент
• Алгебраическая топология: изучает через алгебраические инварианты (гомологии, гомотопии)
• Дифференциальная топология: гладкие многообразия
• Геометрическая топология: низкоразмерные пространства

Гомотопия

Непрерывная деформация одного отображения в другое. Петля на сфере может быть стянута в точку (тривиальна). Петля вокруг дырки на торе — нет.

Фундаментальная группа

• Состоит из петель, начинающихся и заканчивающихся в одной точке, с точностью до гомотопии
• Сфера: тривиальная
• Окружность: Z (целые числа — сколько раз обошли)
• Тор: Z × Z

Гипотеза Пуанкаре

• Сформулирована в 1904: каждое односвязное замкнутое 3-мерное многообразие гомеоморфно сфере S³
• Одна из 7 задач тысячелетия ($1 млн)
• 2002-2003: Перельман публикует доказательство на arXiv
• 2006: подтверждено сообществом. Перельман отказывается от Филдсовской медали и $1 млн

Узлы и зацепления

• Математика узлов: как различить узлы?
• Полином Джонса, Александера — инварианты
• ДНК: молекулы действительно "завязываются"
• Применение: проектирование молекул

Применения

• Топологический анализ данных (TDA): анализ больших данных через "форму"
• Физика: топологические изоляторы, топологические фазы (Нобелевская 2016)
• Квантовые компьютеры: топологические кубиты Microsoft
• Роботы: планирование движений в конфигурационных пространствах
• Биология: фолдинг белков

Бутылка Клейна

• Неориентируемая замкнутая поверхность
• В 3D не вложима (проходит сама через себя)
• Нет "внутри" и "снаружи"
• Стеклодувы делают модели (с пересечением)

Рог Гавриила

Поверхность вращения 1/x от 1 до ∞. Конечный объём, бесконечная площадь. Теоретически можно заполнить краской, но не покрасить изнутри.

Абстракция

Топология начинается со школьной геометрии, но быстро уходит в глубокую абстракцию. Это красивая, мощная и иногда противоречащая интуиции область математики.